摘要：矩阵理论是高等代数中主要的内容之一，并且在后续的课程中都有着非常广泛的应用.本篇论文所讨论的对称矩阵是矩阵一种特殊的类型，由于它的构造独特，更因为它有着广泛的应用，因而成为数学中的一个著名的矩阵.本篇论文首先通过对称矩阵的发展历史和研究方向开始，继而讨论了对称矩阵的定义及其性质以及对称矩阵中元素都是实数所组成的实对称矩阵的相关性质，最后探讨了对称矩阵在对角化、正定性、二次型以及二次曲面中的应用等.

关键词：对称矩阵；实对称矩阵；对角化；二次型；正定性；二次曲面

目录

摘要

Abstract

1 绪论-3

1.1 对称矩阵的历史发展-3

1.2 对称矩阵的研究方向-3

2 对称矩阵的性质及其推广-5

2.1 对称矩阵的性质及其相关定义-5

2.2 实对称矩阵的特征值与特征向量-7

2.3 对称矩阵的对角化-9

2.4 关于二次型矩阵的相关概念及其基本性质-10

2.5 对称矩阵的正定性的定义及其相关性质-12

3 对称矩阵的应用-14

3.1 对称矩阵可对角化的应用-14

3.2 实对称矩阵在二次型标准化中的应用-17

3.3 实对称矩阵正定性的应用-18

3.4 基于对称矩阵下的多元实二次型的正定性的判别-19

3.5 对称矩阵在二次曲面分类中的应用-20

4 结论与启示-21

谢辞-22

参考文献-23